桿頭最佳化設計之數學模型

( )

9 23

g x <200 (g)

( )

10 24

g x <460 (cm ) ³

求目標函數 max .f

( )

( )

( )

( )

4.3 最佳化設計的數值計算方法

數值計算是一種數值近似計算方法，主要是透過目標函數的變化規律，並且 以適當的步長沿著目標函數值下降的方向，逐步的朝向目標函數值的最佳點進行 搜尋，逐步的逼近目標函數的最佳點。UG/KF 所提供 ug_optimize 的類，對於解 最佳化模型為迭代(Iteration)形式的數值方法。

迭代法簡單的說就是步步逼近，最後達到目標函數的最佳點。數值計算的迭 代方法具有以下幾項特性：

(1) 以數值計算的方法並非數學分析方法。因為桿頭模型相當複雜並 且具有 40 項參數值，比較不適合用數學分析的方法計算。

(2) 具有簡單的邏輯結構並且能夠進行重複相同的計算。

(3) 計算後所得到的值為逼近精確解的近似解。

一般迭代形式包括給定初始值、迭代定義(Iteration definition)以及中止要件 (Termination condition)三個部份，此三部份的關係可由圖 4-5 所示。使用各種數 值計算方法時，初始值的給定相當重要，若初始值越接近最佳點時，收斂的速度 越 快 。 因 此 ， 必 須 了 解 數 值 計 算 方 法 的 收 斂 性 質 屬 於 區 域 收 斂 (Local convergence)，並非全域性收斂(Global convergence)，表示初始值若不在某特定區 間之內，或者無法滿足要求，則該演算法不會收斂。

給定初始設計點

設計點是否滿足計算精度

根據迭代定義，取 得下一個設計點

終止搜尋 是

否

圖 4-5 迭代流程

透過迭代法求解最佳化的步驟可歸納成下列幾項：

(1) 進行最佳化求解過程中，必須先選擇初始點X ，接著由此初始點^{( )0} X^{( )0} 搜 尋接近目標函數的方向以及初始步長，得到X 點。此表示桿頭在進行^{( )1} 最佳化之前必須先對每項參數給定內定值，並且需要在桿頭模型產生後 才可進行最佳化運算。

(2) 取得X^{( )1} 點之後再選擇一個使新的函數值接近目標函數的方向以及步 長，得到X^{( )2} 點，依此類推，一步一步的搜尋與重覆計算，直到目標函 數的最佳點，此過程的迭代形式可由下列所示：

( )^k+1 ( )^k ( ) ( )^{k k}

X = X +α S (4.23)

其中，使 ^f

(

)

( )

( )^k

X ：迭代計算過程中第 k 步的點。

( )^k

α ：第 k 步迭代計算的步長。

( )^k

S ：第 k 步迭代計算的搜尋方向。

(3) 在迭代過程中，每進一點後必須與原來的點相減，檢查此點與原來點相 差的值是否滿足預定的計算精度ε，若滿足則表示目前函數值已達到精 度要求，否則將繼續進行搜尋。表示式如下所示：

(

) ( )

f − f < ε (4.24)

由線性代數得知，對於任何一個迭代公式進行計算，不一定可以得到逼近目 標的近似解，若此迭代公式進行計算後得到逼近目標的近似解，則此迭代公式為 收斂，反之則為發散。

理論上，每個迭代公式都能產生無窮點的設計方案。因此，只能進行有限次 的修改設計，直到取得適當近似解後應當停止。而設計方案不斷的修改直到目標 函數的最大值才停止計算，但是對於工程設計問題往往很難判斷其目標函數的最 大值。因此，必須使用的中止要件。中止與收斂並不相同，事實上在許多狀況下，

中止並不代表數值計算法已經收斂至理論最佳值。當數值計算法滿足中止要件 時，表示此設計點在預設的容許範圍內為滿足設計，或者是到達每次迭代之間的 變化已經非常小，而沒必要再迭代下去。因此，中止要件只能根據計算中的具體 情況進行判斷。此判斷方式由下列四種形式：

(1) 當目標函數在相鄰兩點的相差值小於計算精度時，中止迭代。

(2) 設計變數在相鄰兩點迭代的比值，小於相對收斂公差，則進行收斂。

(3) 在桿頭最佳化設計中會定義出多個約束條件，而每一個約束條件會給定 一個限制方式(大於、小於或限制於一個值區間)。理論上，當最佳化運 算器進行運算時，若違反約束條件，即使得到最佳化的結果，最佳化運 算器仍不考慮將此一最佳化結果及其相應的設計變數。但實務的應用上 有時並非如此嚴謹。因此，有些約束條件，只是希望限制在某一約束條 件內，但即使超出此一約束限制少量，並不致於對整個最佳化系統有太

大的影響。因此，使用者可應用此一參數，設定最佳化過程最大允許約 束差異值，在最佳化過程中，即使違反約束限制量，但在此一設定值內，

若有最佳化結果，則仍視其結果為可接受的最佳化結果。而桿頭的約束 條件由 USGA 所訂定的規範，所以在設計桿頭時不可超過此約束條件，

所以必須將最大約束超過量的值設定為非常小，防止任何參數超過約束 條件。

(4) 迭代次數。在每項數值計算法都會包含此項中止要件，此中止要件的目 的在於最佳化模型有錯誤時，或者數值計算法無法收斂的情況下，使數 值計算法不會無窮盡地迭代。若對最佳化模型進行測試，則可將迭代次 數設定少一些，節省計算資源。若迭代次數超過最大迭代次數而中止，

則表示運算失敗，所得到的結果可能是發散的，甚至不可行的設計點。